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我怎样解题

单墫   绘:   译:  

  • 开本:16
  • 页数:422
  • 出版时间:2017-5
  • 书号:9787544473804
  • 定价:68.00
  • 丛书:
  • 品牌:
京东 亚马逊 当当
内容简介

本书是“单墫解题研究丛书”的第三本,主要内容是100多道经典竞赛题及其解题过程。本书稿有两大特色:一是每道精选题都具有极高的参考价值,不仅能提高解题能力,还能培养数学思维和逻辑能力;二是在解题过程中体现了单墫教授的解题思想和艺术,有助于教师的成长与解题教学的开展。

目 录
第一章不等式的证明
1Janous不等式
2不等式与恒等式
3调整
4还是调整
5分而治之
6两种相等的情况
7柯西不等式
8用柯西不等式“通分”
9老老实实去分母
10还是上次的办法
11加强归纳假设
12估计上界、下界
13挤挤紧
14又逢等差数列
15一题多解
16和比积好
17最小的参数
18放宽些子又何妨
19三角不等式
20绝对值的不等式
21n维向量
22拉格朗日配方法
23截搭题
24自己想办法
25题目有误
26凸函数
27二次形式

第二章几何
1四边形的中高线
2四圆共点
3四个内切圆
4三线共点
5外接三角形
6位似
7经过定点
8剪成锐角三角形
9方程帮忙
10征解问题
11外公切线围成菱形
12射影平分周长
13勾三股四弦五
14分断式命题
15解析几何
16两角相等
17做过三次的题
18富瑞基尔定理
19轴对称
20表示比值
21旁心
22结论强解法简
23高与中线
24又一个几何不等式
25平面向量的有限集合
26向量的应用
27内心
28平分周长
29n个向量的和
30寺庙中的几何题
31四点共圆
32极点与极线
33帕斯卡定理
34三线共点
35正确地提出问题

第三章数论
1正因数的个位数字的和
2最小公倍数的最小值
3平方是有理数
4和被2n整除
5形如|3b-2a|的数
6分数与小数
7走自己的路
8取整函数
9不断地变更问题
10同余方程组
11三个连续的正整数
12互不同余
13各行的乘积能否相等
14素数的幂次
15连中三元
16应当自己去想
17忘却了的显然
18解不会太多
19最小剩余
20惊鸿一瞥
21费马小定理
22因数排圈
23一半是9
24最小的A
25都是素数
26小数部分
27越来越多
28一个整除问题
29估计
30知识障
31数字和
32运用三进制
33不在其中

第四章组合数学
1取棋子
2老虎与驴子
3抽屉原理
4似难实易
5三箱倒(dǎo)球
6直尺上标刻度
7圆周排数
8虽不中亦不远矣
9意义何在
10元素的和
11|X|的最小值
12平面格点
13圆桌会议
14红圈加蓝圈
150,1数表
16正有理数集的分拆
17两部分图
18填±1
19三角形剖分
20好想法要贯彻到底
21映射的个数
22线段染色
23总和为0
24吴伟朝先生的名片
25车站个数

第五章数列、函数及其他
1吴康先生的方程组
2猜答案
3还是猜
4概率问题
5表为平方和
6n是3的幂
7几项整数
8项项是平方
9推广
10整数之和
11三元函数
12一个函数方程
13映射
14寻找函数
15又一个函数方程
16整值多项式
17n个实根
18切比雪夫多项式
19只有一次多项式
20f合数
21带余除法
22存在两组数
23线性无关
24整基

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编辑推荐

学中充满问题,例如尺规作图的三大问题,希尔伯特(Hilbert)的23个问题,费马(Fermat)大定理,黎曼(Riemann)假设,庞加莱(Poincaré)猜想等等.

数学,正是在不断发现问题,不断解决问题中前进、发展的.

学数学,就要学习发现问题,解决问题.

当然,我们目前讨论的问题,只限于中学阶段可能涉及的问题.

我们希望帮助同学们提高解题能力,帮助教师们教会学生解题,帮助师范院校的教师教会未来的教师学会教解题.

说到解题,不可不说到波利亚(G. Pólya,1887—1985).

波利亚是数学家,也是教育家.他关于数学教育的文章与著作,特别是《怎样解题》,《数学的发现》(上、下),为数学解题理论奠定了坚实的基础.

波利亚有很多深刻的思想与独到的见解,真正是解题理论的大成先师.

我国有许多研究解题理论的学者,如过伯祥、张在明、罗增儒等先生.

我也写过一些关于解题的书.承蒙上海教育出版社青睐,计划将我的有关书籍集中出版发行,其中包括:

1. 《解题研究》

2. 《解题漫谈》

3. 《我怎样解题》

4. 《数学竞赛研究教程》(上、下)

等等.

我这几本书,阐释波利亚的解题理论,希望能对学生、教师、教师的教师有所帮助.

波利亚的理论,不是教条,而是实际解题的指南.

因此,我们采用大量实例,特别是自己做过的数学问题,与读者一同讨论如何解题,如何总结解题的经验.

我们特别着重于两类问题.

一是基础问题.这类问题中的数学技巧、方法、思想,往往被人忽视,以为不足道,其实却是至关紧要的.例如,“用字母表示数”就是如此.

很多人在数学学习中遇到困难,原因往往是没有注意打好基础,忽视细节.须知绊倒人的,多半正是那些不起眼的小石头.反过来,如果平时注意加强基础,讲究技巧,在各种考试(如中考、高考)中,一定会减少失误或赢得更多的时间.

二是竞赛问题.它需要更多的创造性,而这正是数学学习中应当特别注意培养与发扬的.波利亚的著作中,对竞赛问题讨论较少,因为在他的时代,竞赛数学远不如今天这样风靡.

关于竞赛问题的解题研究,我们做了一些工作,期待有更多的人参加,共同努力将研究做得更加广泛深入.

特别希望读者朋友参加这项工作,对我们的这几本书提出建议与批评.

感谢上海教育出版社刘祖希先生、张莹莹、谭桑梓女士,促成这套书的出版.

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前 言

数学题多,太多了!

准备高考的同学都做了大量的题。题多,很多人称之为“题海”。

数学竞赛的题更多了。高考题的内容限定了课本,题型也都是常见的,而竞赛则不断推陈出新,变化无穷。竞赛题多,比大海还要浩瀚,可以称之为“题洋”。

但我们不必“望洋兴叹”。因为本来就没有必要做完所有的题,喝干“洋”水。“弱水三千,只取一瓢”。从大洋中舀一瓢水,细细品味,就可以知道大洋的成分。同样地,从众多的竞赛题中选出一部分,仔细分析,就可以基本了解竞赛题的全貌。

为此,我们选择了一百多道竞赛题。认真地做好这一百多道题,可以提高解题的能力,在题洋中自由自在地游来游去。

这就好像《唐诗三百首》,好像《古文观止》,从众多的唐诗、古文中选出一部分有代表性的作品,熟读之后,对古代的诗、文就有所了解,甚至“不会做诗也会吟”。

选择的标准是:

1.有代表性的题,解这种题的思想方法值得学习。

2.有一定难度的好题,有讨论的价值与必要。

3.我自己做过的题(但我以前的书中写过的。注意少收,以免重复)。

这本书不是一本习题集,它的目标不是给出一百多道题的解答、而是想说一说如何去寻找问题的解答。

元遗山说:“鸳鸯绣了从教看,莫把金针度与人”。其实“鸳鸯绣了从教看”就已经是“欲把金针度与人”。一个自己动手去绣的人,一个细心而又有悟性的人,往往能从绣好的鸳鸯看出针法与诀窍。

我们的目的当然是“金针度人”,所以不仅有较为详细的解答(“绣好的鸳鸯”),而且也谈一些自己解题的经验、体会与探索的过程。

当然!探索的过程是很难写的。因为思路往往是难以说清的,何况“一个人不能两次进入同一条河”。在写解题思路时,那思路可能已经不是原始的状态,“欲辩已忘言”。有时,真实的探索过程又十分的漫长,完全写出来也有点乏味。所以,我们只能尽可能真实而又尽可能简洁地复原一些思考过程,并尝试用各种不同的方法来描述。例如,增加分析的分量,夹叙夹议,比较多种解法,适时总结,略作评注等。有时,还请来两个学生甲、乙一同讨论。

事实上,《我怎样解题》的“我”并不只是作者一个人,而是包括了与作者一同讨论的众多朋友,特别是广大的学生群体。这些学生或看过我写的书,或听过我的讲课,而在与他们的讨论中,我也学到了许多好的解法,获益良多。所以,书名中的“我”,其实是“我们”。写成“我”只是为了少印一个字,符合“简单”的原则。

我解过很多的题,但并无什么“绝招”。

有位学生给我写了一封信,讲到解题的事。摘录如下:

“最近,我在***老师那边上了十天课。他强调解题时要运用原则,运用对称性分析、结构分析、图象化、图表化等方法。听他讲课时总觉得他的解法是一种必然。但自己实际做题时,往往觉得原则无处可用,只能像以前一样瞎做。在这点上,我觉得你和***老师很不一样,你解题时十分重视感觉,很少谈一些原则。你总认为解题没有万能的方法,最好的方法就是探索。我想知道,解题到底是靠什么?”

解题到底靠什么?我靠的也就是平常的、普通人的常识,即:

1.必须自己动手解题,才能提高解题能力。

2.要做一些有质量的题,一百道左右(本书每一节的问题,大多写在开始部分,目的就是让读者先自己动手去试)。

3.仔细审题。搞清题意并不容易。有时做完题回顾时才弄清楚,有时做完了题还不一定清楚题意。

4.从简单的做起。尽量找些简单具体直观的实例,由这些实例入手

5.注意总结。要弄清关键所在。有哪几个关键步骤?为什么这样做?要做一题有一题的体会,彻底弄清楚,弄透彻,不仅知其然而且知其所以然。要像大哲学家康德所说:“通过经验使理解力发展到直觉的判断力,再发展到思想观念”,“学会思考”。

虽然努力想写好这本书,但是自身才力所限,疵病一定不少,敬请大家批评指正。

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作者简介

单墫,我国著名数学传播、普及和数学竞赛的专家。1964年毕业于扬州师范学院数学系,在中学、大学任教四十多年。 1983年获理科博士学位(我国首批18名博士之一),1991年当选全国“优秀教师”,1991年7月起享受政府特殊津贴。 1992年评为国家有突出贡献的中青年专家。1995年评为省“优秀学科带头人”。 单墫教授曾任南京师范大学数学系主任,中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长,国家教委理科试验理专家组组长,南京数学学会理事长。 单墫教授主要从事数论与组合

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