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证明的教学:从幼儿园到大学的视角

德斯皮娜·A.斯蒂利亚努 玛利亚·L.布兰顿 埃里克·J.克努特   绘:   译:周超 鲍建生  

  • 开本:16
  • 页数:403
  • 出版时间:2015-12
  • 书号:9787544467759
  • 定价:55.00
  • 丛书:中小学数学教育论著译丛
  • 品牌:
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内容简介

近年来,越来越多的人关心证明在数学教育中的性质与作用,许多数学教育专家都主张应该把证明放有年级的数学教育中心地位,要把证明的“故事”作为中小学的一条主线。这个“故事”包括从逻辑和认知两个角度对证明的形式、论证和证据的特点、数学证明的本质的理解,以及如何通过课程和教学去发展学生对证明的这种理解。《证明的教学:从幼儿园到大学的视角》的目的就是基于已有的研究和实践,帮助数学教育专家和研究者更好地理解不同年级的数学证明,激发进一步的相关研究,从而在经验和理论两个层面上改进证明的教学。

目 录

概述

第一部分 关于证明教学的理论思考

第1章 我希望我的学生关于证明都知道些什么?

第2章 探讨学科知识与学校数学之间的关系:用于理解推理和证明在学校数学中的地位

第3章 公开场合的证明与求知:课堂中的证明特点

第二部分 小学阶段的证明教学

第4章 小学阶段的基于表征的证明

第5章 促进儿童演绎推理的表征

第6章 工作中的年轻数学家

第7章 儿童的推理

第8章 小学高年级证明教学的特点

第三部分 中学阶段证明的教与学

第9章 初中生的数学推理

第10章 数学中的经验性推理到结构性推理

第11章 在数学课堂中发展论证和证明能力

第12章 高中几何中的正规证明

第13章 什么样的论证才是论证?

第14章 学校数学中的推理和论证

第15章 几何课堂中的“做证明”

第四部分 大学阶段证明的教与学

第16章 高校教师关于学生与证明的看法

第17章 在课堂对话中理解证明教学的脚手架

第18章 在数论课程中构建基于问题的探究学习共同体

第19章 高等数学课堂中的证明

第20章 根据学生能力和证明特征迸行论证的教学

第21章 全面审视证明的学与教的研究现状

参考文献

索引

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编辑推荐

今天,越来越多的人开始关心证明在数学教育中的作用,以至于许多数学教育家倡议要把证明放在所有年级教学的中心位置(如,NCTM,2000)。这种关注导致了一批相关的研究,研究的热点包括:什么样的数学思维有助于学生对证明的理解?如何发展学生的数学论证的能力?如何通过改进课程和教学丰富学生在数学论证方面的经历,从而促进对数学证明的理解。

  在我们策划这本书的时候,一个自然的想法是希望能够汇集更多的相关研究,不仅要包括那些在各年级的证明教学中已有的重要研究结果,也要给出未来的研究方向。为了达成一致的目标,我们于2004年9月在美国罗得岛州
的首府普罗维登斯召开了一次工作会议。在一定程度上,本书可以说是这次会议的一个成果。其中的一些章节就是会议报告的修改版,另外一些则源自会议期间的一些讨论。通过这本书,我们努力去弄清楚一些关于证明的共同
的想法,实际上,关于中小学的证明的教与学还需要做大量的研究。
结构与组织

  本书的主要工作是讨论各年级的证明教学。其中,“概述”一章的重点是回顾中小学(特别是美国的)证明教学的历史发展,作者将通过文献综述把读者引向当前本领域的一些核心问题;在第一部分,本书将着重讨论证明教学的概念和理论问题,为后继三个部分的工作提供研究的基础;在第二至四部分,我们将按学段来讨论各年级的证明教学,其中第二部分针对的是幼儿园和小学(K—5),第三部分针对的是中学(6—12),第四部分针对的是大学。虽然各学段的教学在研究和报告中常常是分离的,但在实际的教学中,不同学段是有密切联系的,很难人为地分割开来。在这几部分中,一些章节的研究焦点是课堂中的教师的教学行为,把教师的教学行为作为分析学生证明理解的途径;另一些章节则是通过学生的学习结果来透视教学实践。在本书的最后一章中,作者将基于哈雷尔和索德(Harel& Sowder,2007)提出的一个问题框架来回顾本书各章节所做的工作,希望对框架中的问题给出一些初步的回答。在写法上,每一部分都包括概述和小结,以及各章的研究主题。

  读者对象

  由于本书汇集了关于不同学段和年级的证明教学的多种观点,因此,读者可以按照不同的角度和目的来阅读。其中,第一部分的理论探讨,可能会引起研究者、教师教育者、实践者及课程编制人员的兴趣;后面的几个部分则是基于课堂教学实践的研究,可以供那些与特定年级和领域的证明教学有关的人士参考;此外,由于本书的目的是要讲述从幼儿园到大学的证明教学的“故事”,因此,各章节又是相对独立的。我们希望通过这本书引起各方人士来关注中小学证明的教学、研究及相关的教育政策的制定。

  致谢

  本书的出版,我们应感谢许多人和相关的团体。首先,要感谢美国国家科学基金会(NationalScienceFoundation,简称NSF;项目编号REC 0337703及REC 0092746)对编者的研究和举办相关会议所提供的资助;其次,要感谢那些为本书中的某些章节的相关研究提供支持的公立或私立组织;我们当然还要感谢本书编辑娜奥米·西尔弗曼(NaomiSilverman)和凯瑟琳·贝纳德(CatherineBernard)在出版工作和技术上的支持;最后,我们还要感谢本套丛书主编艾伦·H.匈菲尔德(AlanH.Schoenfeld)的厚爱,从本书的提纲到最终的印刷,艾伦xviii 提供了大量的宝贵意见和一贯的支持与鼓励。

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前 言

《中小学数学教学论著译丛》是上海教育出版社精心打造的一套精品译丛,自1980年至2000年,已翻译出版10多本,其中,《中小学数学能力心理学》《儿童怎样学数学——皮亚杰研究的教育含义》《数学课程发展》《数学教育哲学》《数学教与学研究手册》《数学教育哲学》《数学教学理论是一门科学》《作为教育任务的数学》等都已为大家所熟知。这套伴随几代中国数学学习者成长的图书,在开阔数学教育研究者的视野和拉近中国数学教育与国际数学教育距离等方面作出了突出的贡献,对推动中国数学教育的发展具有非常重要的意义。

但在21世纪的前10年,由于一些客观的原因,该套丛书引进出版工作一度中断,这既是出版界的损失,也是数学教育的缺憾。

为了弥补缺憾,上海教育出版社经过反复论证,最终决定拨出专项资金,加快出书的节奏和规模,将这项具有巨大社会效益的翻译出版工作继续进行下去,推出《中小学数学教育论著译丛》,承担起为中国的数学教育打开世界窗口的重任。

为了更好地选编一批在国际上有重要影响的数学教育学术著作,新的丛书系列拥有一支强大的编委会,其中,由张奠宙和顾泠沅两位先生担任顾问,王建磐、梁贯成、蔡金法等国内外知名数学教育家成立学术委员会,还有一批活跃在数学教育研究前沿的青年才俊担任丛书的编委和译者。尤其令人感动的是,张奠宙先生从一开始就参与了新的译丛的设计和策划,即使在病榻之上仍惦记着丛书的翻译与出版进展。

对照这套丛书第一批译著所出版的年代,虽然只过了短短的15年,但已今非昔比。一方面,互联网的普及和国际交流活动的繁荣已经使我国的数学教育工作者摆脱了“信息闭塞”“资料匮乏”的窘境;另一方面,随着国际(包括我国)数学教育研究队伍和成果的剧增,各种学术著作和论文已经到了让人目不暇接的境地。在这样的形势下,如何选择合适的国际数学教育著作馈赠我国读者是编委会的一项艰巨任务。为此,我们打算从以下几个方面,大致谈谈选编这套译丛的想法。

共性与差异

虽然数学作为一门科学或者一种通用的科学语言是国际上最容易达成共识的一个领域,但仍然有越来越多的证据表明,东西方的数学教育存在着普遍的差异。

2006年,国际数学教育委员会(ICMI)出版了研究系列中的第九卷《不同文化传统下的数学教育:东亚与西方的比较研究》。该书主编之一的梁贯成教授在“前言”中就探讨了东西方数学教育所存在的各种重要的差异,其中包括文化传统和教育体制,学生的成绩与态度以及教师的态度、教学方式及其能力。类似的比较重要的研究还有斯蒂格勒等人的《教的差距》与《学的差距》,TIMSSPISA的研究,LPS的研究等。

毫无疑问,今天已经没有人会怀疑东西方数学教育存在着很多差异,但同样没有人怀疑的是:东西方的数学教育也存在着大量的共性和相通之处。这种共通之处甚至可以追溯到东西方教育思想的两个源头:古希腊雅典文明时期的苏格拉底和我国春秋战国时期的孔子。他们几乎出现在同一时代,苏格拉底的“助产术”和孔子的启发式教学仍在影响着今天的教学实践,其中就有许多异曲同工之处。

正因为东西方的数学教育有许多差异,才可以引发更深层次的思维冲突,成为改革的动力。也正因为有许多共通之处,才可以成为彼此的一面镜子,更好地理解自己。

因此,在阅读这套新的译丛时,我们更希望用一种“比较”的眼光,通过比较东西方的差异和共性,寻找一条数学教育实践和研究的中国道路。

传统与潮流

传统与潮流是数学教育研究中的一个永恒的对立统一体。数学是比较传统的,今天我们中小学所教学的数学内容多数是17世纪之前的产物,今天我们在讨论的数学思想方法许多可以追溯到欧几里得时代;但教育是喜欢赶潮流的,在过去短短的30年里就有过许多的潮起潮落,一拨一拨的口号如过眼烟云。传统是积淀的结果,需要一代代人的默默奉献;潮流总是让人兴奋,但能够成为弄潮儿的却总是凤毛麟角。

刚进人21世纪的时候,我国的数学教育改革似乎更多地追随着国际数学教育改革的潮流,但若干年后才发现,我们能够在国际潮流中闪闪发光的却是那些被认为是中国传统的东西。今天,我们相信有越来越多的中国数学教育研究者开始重新认识和研究自己的传统,但我们是不是也应该担心,有可能因为忽视了国际发展的潮流而成为一片孤岛。毕竟,潮流是挡不住的。

在选编这套译丛的时候,我们希望能够把握国际数学教育研究的潮流,但更关注的是那些在潮流中有可能成为经典的著作;我们希望中国的数学教育研究者敢于成为国际数学教育的“弄潮儿”,但也希望更多的人把中国传统作为一个立足之地,在借鉴西方研究方法和成果的同时,为自己的研究找到依托。

经验与理论

不管我们承认与否,东西方在哲学传统上就有“唯理”和“务实”之别,教育

也是一样。于是,我们经常可以听到这样一些说法:西方有的是教育家,东方更多的是名师;西方强调的是理论的构建,东方更关注经验的传承;西方的研究重点是对学生学习过程的分析,东方则更多的是对教学策略的总结。也有人用一种更简单的说法来概括这种差异:西方关注“想法”,东方强调“做法”。

从“道理”上看,“想法”和“做法”从来就不是一个可以分割的东西,中国传统教育思想中的一个重要原则就是“知行合一”。之所以出现上述的东西方差异,症结可能就出现在“说法”上。从我国的数学教育研究文献来看,常常是用西方的理论来分析或者总结东方的经验。

这不禁让人疑惑:难道东方就没有自己的数学教育理论吗?答案显然是否定的。问题也许是:在实践层面,我们常常过分相信自己的经验,而忽视了对经验的梳理与反思;在理论层面,我们又没有能够把中国数学教育的实践经验提升为国际化的理论。

因此,我们选编本套译丛的原则之一是优先考虑具有数学教育研究方法论意义的著作。也就是说,希望可以从中找到一些国际上被广泛认可的“做法”,把中国的数学教育优秀经验提升为国际化的理论。

引进与推出

作为一套译丛,我们实际在做的自然是“引进”的工作,但我们的目标则是“推出”,或者说,我们希望推出发展自己的研究可以让更多的国外学者来“引进”我们中国的学术著作。

在数学教育著作的引进方面,上海教育出版社作出了巨大的贡献。从早期的《英国中学数学教科书SMP》、日本大型数学辞典系列、《ICMI研究丛书》到20世纪90年代的《中小学数学教学论著译丛》,其中凝聚着半个世纪几代人的心血。

我们这套丛书的出版计划是,在接下来的3年中,重点出版由编委会推荐的8本图书,将其作为第一辑,这8本图书分别是《数学教师的专业教育和发展》《证明的教学:从幼儿园到大学的视角》《数学史与数学教育》《俄罗斯数学教育:历史与世界的意义》《数学教育中的信念和态度》《数学教育再探》(重印)《作为教育任务的数学》(重印)《皮亚杰研究的教育意义》(重印)。

列入第一辑出版计划的8本图书中,除了基本重印的经典著作外,新译的几本各具特色,既反映了国际数学教育的当代潮流,也贴近中国数学教育和研究者的需求。

《数学教师的专业教育和发展》是国际数学教育委员会(ICMI)系列专题研究中第15项研究的最终成果,前后历时6年多,由ICMI授权的国际程序委员会精心设计安排,在全球范围内征集论文,举行国际会议交流,最后由世界顶级专家撰写和主编。它对于我国数学教师认识自身特长和缺陷,虚心吸纳国际经验和教训,扩展视野,极具启发意义,是一份难得的、全球性的基础性研究资料。

《证明的教学:从幼儿园到大学的视角》代表了国际数学教育的一个新的观点:数学推理与证明不仅是数学教学的对象和目标,也是数学教学的重要途径,通过推理和证明可以更好地帮助学生学习数学和理解数学。该书的作者队伍几乎囊括了当今世界上数学推理与证明研究领域最有影响的学者。

《数学史与数学教育》是1998年由ICMI发起的,由国际HPM组织主办的“数学史在数学中的作用”国际研讨会会议内容的汇集与整理的专著。该书内容涉及世界范围内HPM领域的状况、相关政策、文化、学生的需要,对数学史教学的途径与手段、教学中如何恰当地使用文献等问题,都给出了具体的方法。

在编译这套丛书时,学术委员会和编委会除了精选和认证所翻译的著作外,还负责选择和监督每本书的翻译工作。本套丛书的译者队伍主要由数学教育领域的资深学者和青年博士组成。

最后,我们要再次感谢上海教育出版社继续为数学教育做了一件大好事,也感谢出版社王耀东副总编、赵海燕主任以及余海峰、缴麟等编辑的不懈努力和支持。

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作者简介

精彩书摘

作为一位大学的数学教师,我会希望我的学生对数学“证明”有一个什么样的理解呢?显然,研究人员和职业数学家眼里的“证明”不是一个固定的概念,它是在一个教育体系中逐步发展起来的,从小学低年级,直到大学的高年级和研究生阶段。

对于大学的数学教师来说,证明的教学起始于微积分。有些学生在高中阶段已经学过微积分,在那里他们已经见识过了许多的“证明”。在大学的微积分课程中,我们同样提供了许多的“证明”,这些证明也许和高中阶段的不完全一样。但不幸的是,那些已经学过微积分的学生至多只具备了形式的或者算法化的证明概念。他们会求多项式,甚至有理函数、三角函数、指数函数的导数,却不理解什么是曲线的切线斜率或函数的变化率,实际上,这些才是微积分的意义和兴趣所在。那么,用概念理解来替换形式练习与“证明”的存在与否有关吗?

在微积分课程之后,当学生进一步学习线性代数的时候,他们才开始认识到:证明并不只是那些在10年级几何课程和12年级微积分课程中学习的东西,证明也并不是和算术或者代数没有关系的,而是数学的本质,是区分数学思想与人类其他思想的标志。问题是,学生通常只有在学习了大学高年级的数学课程以后才能达到这样的认识,那么,在高中阶段,甚至更低的年级,他们是否可以做到呢?

这里,我们首先要对“证明”和“推理”两个概念进行区分,虽然大学数学教

师对这种区分也许从来不在意,但它有助于我们澄清本章要讨论的问题。我曾经针对我所在的新墨西哥大学的学习高年级数学课程的学生做过一次调查,结果发现,在学生的眼里,“推理”是中小学的一个普遍概念,但“证明”却是10年级以后才出现的事情。在他们看来,“证明”意味着系统的、清晰的、一步一步的推理,而那些非形式的、虽然也可以是很精致的推导都只不过是一些“推理”。

上述这种区分实际上涉及“认识论”和“方法论”的问题。对于数学家而言,证明就是一个终结性的判断,可以让任何理解相关概念的人信服,可以排除任何的反例。这种解释的一个问题是,我们必须先假设存在某个公正的由数学家组成的裁决团,让他们来决定什么是可以接受的,什么是应该质疑的,什么是必须拒绝的。那么,他们做决定的逻辑基础又是什么呢?这通常不是明显的,几乎所有的场合都有一些非显然的过程,这些过程对于年轻学生(包括他们的中小学数学教师)来说是不容易理解的。因此,数学专业水平上对证明的定义并不适合所有学生。

好在我们还有“推理”!

例如,当儿童学会整数的加法和乘法以后,就可以用位值的概念来帮助他们解释“乘法的交换律”,即两个数相乘,不管哪个因数放在前面,结果是一样的。为什么呢?因为97排每排24个硬币的总数与24排每排97个硬币的总数一样多,这只要换一个角度去看就可以了。这种解释实际上就是一种“推理”,那么可以算“证明”吗?我认为应该算。当然,到了大学阶段,我们还是应该对乘法交换律给出基于数学归纳法的严格的证明,而不只是借助于直观图形,因为图形是很容易迷惑人的。

到了10年级,欧几里得(Euclid)的第一定理是给定边长构造等边三角形。这里,运用两个圆弧来确定第三个顶点的直观“证明”是可以让人信服的,因为你可以“看到”两条圆弧一定是相交的(在所给线段的上方和下方各有一个交点)。但这种做法,按照现代数学的严格意义是不能被接受的,因为这不是从欧氏公理系统出发推导出来的,公理系统并没有说这样的两条圆弧一定相交,我们只是从图形上看出它们是相交的。那么,这是否可以算“证明”呢?我们是否需要像希尔伯特(Hilbert)那样为欧氏公理系统填补漏洞?或者误导孩子们,强迫他们咽下一个错误的证明?毕竟图形是可以误导的。

我们再来看一个更基本的问题,那就是单位正方形的对角线与边长的不

可公度问题,这最终导致了无理数#的产生。由于在无理数产生之前,我们只有有理数的概念,因此,从逻辑上我们只能说单位正方形的对角线是不可度量的。实际上,伟大的哲学家毕晓普•伯克利(BishopBerkeley)却对此进行过论证,他认为,既然我们可以接受连续的概念,那么就一定存在一个最小的长度单位,使得所有的线段都是可以度量的,当然也包括单位正方形的对角线。虽然从今天来看,伯克利的论证是有问题的,但在逻辑上他并没有犯错误,他只是依据了不同的公理系统,也就是后来的实数理论。在实数理论中,我们可以填补有理数留下的所有空缺。由于实数理论是大学阶段的课程,因此,在高中阶段,大多数学生只是被动地接受了无理数的“存在性”,只有极少数思维深刻的学生才会质疑这种“存在性”。

大学的微积分教师总是抱怨高中的微积分课程太肤浅,其中没有包含(或者没有掌握)一些重要的数学证明,但实际上,今天多数大学的1年级微积分课程也并非都是“严格的”。我们常常在微分时并不考虑导数的存在性;我们常常默认实数系是完备的而不去管它是否可能存在矛盾。既然在大学阶段我们可以在“需要的时候再来考虑”,那么,髙中阶段的证明与大学阶段的证明在本质上又有什么区别呢?

我想,并没有多大的区别,真的!

尽管如此,我还是希望我的学生在大学之前已经知道证明不只是那些标准化的、写成双栏、10年级几何里做的事(所谓双栏式证明就是在左边每写一个判断,右边就要配上相应的定理或以前的结论,由此推出左边的下一个判断)。证明就是一种“推理”,一种精细的、批判性的推理,旨在填补缝隙和排除例外,而且这种推理可以在所有数学中看到,其中包括算术、代数和几何。

也许我们还不能要求学生去理解证明的恰当与否是与讨论的背景相关的。在一种背景下被认可的证明到了更高级的、更复杂的阶段可能需要重新认定。在经过了大学1年级的初步微积分的学习之后,学生到了大学3年级阶段才开始用“一种正确的方式”重新学习高级微积分课程。的确,让大学新生就掌握那些复杂的证明技巧是不切实际的,但至少我希望学生对证明有一个更宽阔的理解,让他们知道精细的数学推理可以导致可靠的定义和结论,这才是数学的本质。证明不是一件令人讨厌的、与问题解决不相关的事,证明与听有的数学都相关。我希望我的学生已经明白这一点。

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